Question

20．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos²A=$\sqrt{2}$a，且c²=b²+$\sqrt{3}{a^2}$，则sinB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知和正余弦定理可得abc的关系，再由余弦定理可得cosB，由同角三角函数基本关系可得sinB．

解答 解：∵在△ABC中，asinAsinB+bcos²A=$\sqrt{2}$a，
∴由正弦定理得$sinB（{sin^2}A+{cos^2}A）=\sqrt{2}sinA$，
化简可得sinB=$\sqrt{2}$sinA，∴b=$\sqrt{2}$a，
又${c^2}={b^2}+\sqrt{3}{a^2}$，∴${c^2}=（2+\sqrt{3}）{a^2}$，
故可设$a=1\;，\;\;b=\sqrt{2}\;，\;\;c=\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{{\sqrt{3}+1}}{{\sqrt{2}}}$，
∴由余弦定理可得$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{1+2+\sqrt{3}-2}}{{2×1×\frac{{\sqrt{3}+1}}{{\sqrt{2}}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
由同角三角函数基本关系可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系，属中档题．