Question

已知函数f（x）=sinx．
（Ⅰ）若f（α）=

1

3

，且α为第二象限角，计算：cos²α

1-sinα 1+sinα

+sin²α

1-cosα 1+cosα

；
（Ⅱ）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线x=

π

3

对称，求函数g（x）的解析式．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据已知可先得cosα=-

2 2

3

，化简可得原式=sinα-cosα，代入即可求值．
（Ⅱ）设点A（x，y）是函数g（x）图象上任意一点，则点A关于直线x=

π

3

的对称点A（

2π

3

-x，y）落在函数f（x）的图象上，可得g（x）=f（

2π

3

-x），又由f（x）=sinx，即可得解．

解答： （本题满分8分）
解：（Ⅰ）由sinα=

1

3

，α为第二象限角，得cosα=-

2 2

3

…（1分）
cos²α

1-sinα 1+sinα

+sin²α

1-cosα 1+cosα

=cos²α

(1-sinα)2 cos2α

+sin²α

(1-cosα)2 sin2α

=-cosα（1-sinα）+sinα（1-cosα）=sinα-cosα
所以cos²α

1-sinα 1+sinα

+sin²α

1-cosα 1+cosα

=

1

3

+

2 2

3

；（4分）

（Ⅱ）设点A（x，y）是函数g（x）图象上任意一点，
则点A关于直线x=

π

3

的对称点A（

2π

3

-x，y）落在函数f（x）的图象上，
所以g（x）=f（

2π

3

-x），
又由f（x）=sinx，
得g（x）=sin（

2π

3

-x），
即g（x）=sin（x+

π

3

）…（8分）

点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，正弦函数的图象和性质，其中函数图象关于直线对称变换属于难点，属于中档题．