Question

已知{a_n}是公比为q的等比数列，且a_m、a_m+2、a_m+1成等差数列．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试判断S_m、S_m+2、S_m+1是否成等差数列？并说明理由．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等差关系的确定,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出2a₁q^m+1=a₁q^m+a₁q^m-1，由此能求出q的值．
（Ⅱ）若q=1，由a₁≠0，得2S_m+2≠S_m+S_m+1；q=-

1

2

，能推导出2S_m+2=S_m+S_m+1．故当q=1时，S_m，S_m+2，S_m+1不成等差数列；q=-

1

2

时，S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，得2a_m+2=a_m+1+a_m，
∴2a₁q^m+1=a₁q^m+a₁q^m-1
在等比数列{a_n}中，a₁≠0，q≠0，
∴2q²=q+1，解得q=1或-

1

2

．
（Ⅱ）若q=1，S_m+S_m+1=ma₁+（m+1）a₁=（2m+1）a₁，S_m+2=（m+2）a₁
∵a₁≠0，∴2S_m+2≠S_m+S_m+1
若q=-

1

2

，Sm+2=

1-(- 1 2 )m+2

1-(- 1 2 )

•a1=[

2

3

-

1

6

•(-

1

2

)m]•a1，
S_m+S_m+1=

1-(- 1 2 )m

1-(- 1 2 )

•a1+

1-(- 1 2 )n+1

1-(- 1 2 )

•a1
={

4

3

-

2

3

•[（-

1

2

）^m+（-

1

2

）ⁿ⁺¹}•a₁，
∴2S_m+2=S_m+S_m+1，
∴2S_m+2=S_m+S_m+1，
∴当q=1时，S_m，S_m+2，S_m+1不成等差数列；
q=-

1

2

时，S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列．

点评：本题考查等比数列的公比的求法，考查等差数列的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．