Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²an（n≥2），且a₁=1
①计算a₂，a₃，a₄，a₅；
②猜想a_n．

Answer 1

考点：归纳推理,数列的求和

专题：规律型,等差数列与等比数列

分析：①利用数列的前n项和与第n项的关系，得到关于数列的递推关系式，即可求得此数列的前几项；
②分析a_n的值随n值变化的规律，进而可猜想得到a_n的通项公式．

解答： 解：①∵S_n=n²a_n，
∴S_n+1=（n+1）²a_n+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n
∴a_n+1=

n

n+2

a_n，
∵a₁=1
∴a₂=

1

3

，
a₃=

1

6

，
a₄=

1

10

，
a₅=

1

15

，
②由a₁=1=

2

1×2

，
∴a₂=

1

3

=

2

2×3

，
a₃=

1

6

=

2

3×4

，
a₄=

1

10

=

2

4×5

，
a₅=

1

15

=

2

5×6

，
…
每一项的分子均为2，分母是n与n+1的乘积，
由此可猜想，a_n=

2

n(n+1)

点评：本题主要考查数列递推式、归纳推理，第①要注意递推公式的灵活运用，第②要注意a_n的值随n值变化的规律．