Question

已知函数f（x）=

x2

1+x2

．
（1）求f（2）与f（

1

2

），f（3）与f（

1

3

）；
（2）由（1）中求得结果，你能发现f（x） 与f（

1

x

）有什么关系？并证明你的结论；
（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2009

）的值．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将x=2，

1

2

，3，

1

3

代入解析式求出相应的函数值；
（2）由（1）判定出f（x）+f（

1

x

）=1，分别表示出f（x） 与f（

1

x

）即得证；
（3）有（2）的结论，再求出f（1），得出代数式的值；

解答： 解：（1）f（2）=

4

5

，f（

1

2

）=

1

5

，f（3）=

9

10

，f（

1

3

）=

1

10

…（4分）
（2）f（x）+f（

1

x

）=1…（6分）
证明：f（x）+f（

1

x

）=

x2

1+x2

+

1 x2

1+ 1 x2

=1…（8分）
（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f(2009)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

2009

)=

4017

2

…（12分）

点评：本题考查根据函数的解析式求函数值，属于一道基础题．