Question

已知正项数列{a_n}的前项和为S_n，且S_n=

(an+1)2

4

，b_n=

1

(n+1)n

，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求证：（a_n+1）b_n≤

1

nn-1

；
（Ⅲ）求证：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜1．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出4a_n=a_n²-an-12+2a_n-2a_n-1，从而得到{a_n}是首项为1公差为2的等差数列，由此求出a_n=2n-1．
（Ⅱ）欲证明（a_n+1）b_n≤

1

nn-1

，即证(1+

1

n

)n≥2，由二项式定理能证明（1+

1

n

）ⁿ≥2，由此能证明（a_n+1）b_n≤

1

nn-1

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知a_nb_n≤

1

nn-1

-

1

(n+1)n

，由此能证明a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜1．

解答： （Ⅰ）解：∵正项数列{a_n}的前项和为S_n，且S_n=

(an+1)2

4

，
∴a1=

(a1+1)2

4

，解得a₁=1．
4S_n=（a_n+1）²，a≥2时，4S_n-1=（a_n-1+1）²，
两式相减，得：4a_n=a_n²-an-12+2a_n-2a_n-1，
∴（a_n+a_n+1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
又a₁=1，∴{a_n}是首项为1公差为2的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（Ⅱ）证明：欲证明（a_n+1）b_n≤

1

nn-1

，即证

2n

(n+1)n

≤

1

nn-1

，
即证2nⁿ≤（n+1）ⁿ，即证(1+

1

n

)n≥2，
∵（1+

1

n

）ⁿ=1+

C

1 n

•

1

n

+

C

2 n

(

1

n

)2+…+

C

n n

(

1

n

)n
≥1+

C

1 n

•

1

n

=1+n•

1

n

=2，
∴（a_n+1）b_n≤

1

nn-1

．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知a_nb_n≤

1

nn-1

-

bn

nn-1

≤

1

nn-1

-

1

(n+1)n

，
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
≤（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

32

）+（

1

32

-

1

43

）+…+（

1

nn-1

-

1

(n+1)n

）
=1-

1

(n+1)n

＜1．
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意二项式定理和裂项求和法的合理运用．