Question

某工会举办职工猜奖活动，参与者需先后回答A和B两个问题，正确回答问题A可获得奖金m元，正确回答问题B可获得奖金n元（m，n∈N^*）．活动规定：参与者可任意选择回答的顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者获奖活动中止．现假设职工甲回答问题A答对的概率为

1

4

，回答问题B答对的概率为

1

6

．
（Ⅰ）求职工甲按先A后B的顺序回答问题获得奖金额的分布列及数学期望；
（Ⅱ）是否存在正整数m和n，使得职工甲不管选择哪种答题顺序所获得奖金额的数学期望一样？若存在，求出m和n的一组值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）职工甲按先A后B的顺序回答问题获得奖金额X的可能取值为0，m，m+n，分别求出相应的概率，能求出职工甲按先A后B的顺序回答问题获得奖金额的分布列及数学期望．
（Ⅱ）设职工甲先B后A的顺序回答问题获得奖金额为Y，则Y可能取值为0，n，m+n．求出EY，由EX=XY，能求出存在m=120，n=200，使得职工甲不管选择哪种答题顺序所获得奖金额的数学期望一样．

解答： 解：（Ⅰ）职工甲按先A后B的顺序回答问题获得奖金额X的可能取值为0，m，m+n，
P（X=0）=

3

4

，
P（X=m）=

1

4

×

5

6

=

5

24

，
P（X=m+n）=

1

4

×

1

6

=

1

24

，
∴X的分布列为：

X	0	m	m+n
P	3 4	5 24	1 24

EX=0×

3

4

+m×

5

24

+(m+n)×

1

24

=

6m+n

24

．
（Ⅱ）设职工甲先B后A的顺序回答问题获得奖金额为Y，则Y可能取值为0，n，m+n．
P（Y=0）=

5

6

，
P（Y=n）=

1

6

×

3

4

=

1

8

，
P（Y=m+n）=

1

24

，
Y的分布列为：

Y	0	m	m+n
P	5 6	1 8	1 24

EY=0×

5

6

+m×

1

8

+(m+n)×

1

24

=

m+4n

24

，
若EX=XY，则6m+n=m+4n，即5m=3n，
∴存在m=120，n=200，使得职工甲不管选择哪种答题顺序所获得奖金额的数学期望一样．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及其应用，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．