Question

14．（1）已知复数z=3+bi，（b为正实数），且（z-2）²为纯虚数．若w=（2+i）z求复数w的模．
（2）有以下三个不等式：
（1²+4²）（9²+5²）≥（1×9+4×5）²；（6²+8²）（2²+12²）≥（6×2+8×12）²；（20²+10²）（102²+7²）≥（20×102+10×7）²．
请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用复数（z-2）²为纯虚数．求出b，然后求w的模；
（2）由已知等式，发现规律得到一般结论，并利用作差法证明即可．

解答 （1）解：复数z=3+bi，（b为正实数），且（z-2）²为纯虚数．
所以（1-bi）²=1-b²-2bi为纯虚数，所以1-b²=0，解得b=1（-1舍去）；
所以w=（2+i）z=（2+i）（3+i）=5+5i，所以复数w的模为$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}=5\sqrt{2}$；
（2）由已知以下三个不等式：
（1²+4²）（9²+5²）≥（1×9+4×5）²；（6²+8²）（2²+12²）≥（6×2+8×12）²；（20²+10²）（102²+7²）≥（20×102+10×7）²．
观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论：解：结论为：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²．  
证明：（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²
=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²-（a²c²+b²d²+2abcd）
=a²d²+b²c²-2abcd=（ac-bd）²≥0
所以（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²．

点评 本题考查了复数的计算依据归纳推理，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．