Question

6．在△ABC中，已知4sinAcos²A-$\sqrt{3}$cos（B+C）=sin3A+$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，b=2，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角公式、诱导公式、同角三角函数关系式、三角函数恒等式推导出sinA+$\sqrt{3}cosA$-$\sqrt{3}$=0，从而2sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，由此能求出A的值．
（Ⅱ）由△ABC为锐角三角形，b=2，A=$\frac{π}{3}$，得到$\frac{π}{6}$＜C＜$\frac{π}{2}$，由此能求出c的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵4sinAcos²A-$\sqrt{3}$cos（B+C）=sin3A+$\sqrt{3}$．
∴4×$sinA×\frac{cos2A+1}{2}$+$\sqrt{3}$cosA=sin（A+2A）+$\sqrt{3}$，
2sinAcos2A+2sinA+$\sqrt{3}sinA$=sinAcos2A+cosAsin2A+$\sqrt{3}$，
∴sinAcos2A-cosAsin2A+2sinA+$\sqrt{3}$cosA-$\sqrt{3}$=0，
∴sinA+$\sqrt{3}cosA$-$\sqrt{3}$=0，
∴2sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，b=2，A=$\frac{π}{3}$，
∴30°＜C＜90°，
∴$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$＜c＜2×2，即$\sqrt{3}＜c＜4$．
∴c的取值范围是（$\sqrt{3}，4$）．

点评 本题考查三角形中角的求法，考查边的取值范围的求法，考查二倍角公式、诱导公式、同角三角函数关系式、三角函数恒等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．