Question

函数f（x）=x²-alnx（a∈R）
（1）讨论f（x）的单调性
（2）设函数Y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线为l，若l在点A处穿过函数y=f（x）的图象（即动点在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求a的值
（3）若a＞0，函数y=f（x）的图象与直线y=ax有且只有一个公共点，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，分当a≤0时和当a＞0时讨论原函数的单调性；
（2）求出f（x）在点A（1，f（1））处的切线l的方程，把l在点A处穿过函数y=f（x）的图象转化为函数h（x）=f（x）-[（2-a）（x-1）+1]有极值点1=-

a

2

，则a的值可求；
（3）由题意知方程x²-alnx-ax=0有唯一实数解，构造函数g(x)=2x-

a

x

-a=

2x2-ax-a

x

，利用导数分析其单调性，求得极小值点x2=

a+ a2+8a

4

，把使方程f（x）=ax有唯一实数解转化为

g′(x)=0 g(x)=0

，由此求得

a+ a2+8a

4

=1，从而得到a的值．

解答： 解：（1）由已知得，f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

，且函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a≤0时，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞0时，令f′（x）=0，得x=-

a 2

（舍），x=

a 2

．
当x∈(0，

a 2

)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈(

a 2

，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
综上，a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
a＞0时，f（x）在(0，

a 2

)上单调递减，在(

a 2

，+∞)上单调递增；
（2）由f（1）=1，f′（1）=2-a知，f（x）在点A（1，f（1））处的切线l的方程为：
y=（2-a）（x-1）+1．
∵l在点A处穿过函数y=f（x）的图象，
∴令h（x）=f（x）-[（2-a）（x-1）+1]=x²-alnx-[（2-a）（x-1）+1]．
则h（x）在x=1两边附近的函数值异号，则x=1不是函数的极值点．
而h′(x)=2x-

a

x

-(2-a)=

(2x+a)(x-1)

x

．
若1≠-

a

2

，则x=1和x=-

a

2

都是函数的极值点，
∴1=-

a

2

，即a=-2；
（3）由题意知方程x²-alnx-ax=0有唯一实数解，
设g(x)=2x-

a

x

-a=

2x2-ax-a

x

．
令g′（x）=0，解得x1=

a- a2+8a

4

（舍），x2=

a+ a2+8a

4

．
当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
∴当x=x₂时，g（x）取得最小值g（x₂）．
则要使方程f（x）=ax有唯一实数解，只有

g′(x)=0 g(x)=0

，
即

2x22-ax2-a=0 x22-alnx2-ax2=0

，即2alnx₂+ax₂-a=0．
∵a＞0，
∴2lnx₂+x₂-1=0．
设u（x）=2lnx+x-1，则x＞0时，u′(x)=

2

x

+1＞0，u（x）单调递增，
∴u（x）至多有一解，
又∵u（1）=0，
∴方程2alnx₂+ax₂-a=0的解为x₂=1．
即

a+ a2+8a

4

=1，解得a=1．

点评：本题主要考查函数的单调性、导数等基础知识，考查分类讨论能力，新定义理解及应用解决能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法，是压轴题．