Question

已知函数y=f（x）=

2

sin（

π

4

+2x）+1．
（1）求函数f（x）的最大值和最小值以及取最大、最小值时相应x的取值集合；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间．
（3）作出此函数在一个周期内的图象．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）对于函数函数y=

2

sin（2x+

π

4

）+1，利用正弦函数的图象和性质求得其最大值和最小值，并写出取得最值是相应的x的集合．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（3）根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．

解答： 解：（1）对于函数函数y=1+

2

sin（2x+

π

4

），当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈z时，函数取得最大值为

2

+1，此时，x=kπ+

π

8

，k∈z．
当2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，k∈z时，函数取得最小值为1-

2

，此时，x=kπ-

3π

8

，k∈z．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z．
故函数的增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．
（3）解：列表：…（6分）

x	- π 8	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
2x+ π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
y	1	1+ 2	1	1- 2	1

描点、连线如图所示．…（12分）

点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质，五点作图法，属于基本知识的考查．