Question

13．若圆（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=3与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a和b的关系，进而利用c²=a²+b²求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．

解答 解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆相切，
∴圆心到渐近线的距离为$\frac{|\sqrt{3}b-a|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$或$\frac{|\sqrt{3}b+a|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，求得a=$\sqrt{3}$b，
∴c²=a²+b²=4b²，
∴e=$\frac{2b}{\sqrt{3}b}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．