Question

5．设x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-6≤0}\\{2x-y-1≤0}\\{3x-y-2≥0}\end{array}\right.$，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为[-2，1]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由z=ax+y得y=-ax+z，直线y=-ax+z是斜率为-a，y轴上的截距为z的直线，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则A（1，1），B（2，4），
∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，
∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，
经过点A时取得最小值为a+1，
若a=0，则y=z，此时满足条件，
若a＞0，则目标函数斜率k=-a＜0，
要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，
则目标函数的斜率满足-a≥k_BC=-1，
即0＜a≤1，
若a＜0，则目标函数斜率k=-a＞0，
要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，
则目标函数的斜率满足-a≤k_AC=2，
即-2≤a＜0，
综上-2≤a≤1，
故答案为：[-2，1]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．