Question

18．已知公差为0的等差数列{a_n}满足a₁=1，且a₁，a₃-2，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为S_n，并求使得S_n＞$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{4}$成立的最小正整数n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，根据等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程，求出d的值，代入等差数列的通项公式求出a_n；
（2）由（1）化简$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，利用裂项相消法求出S_n，化简S_n＞$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{4}$求出n的范围，即可求出最小正整数n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
由a₁，a₃-2，a₉成等比数列得，（2d-1）²=1×（1+8d），
则d²-3d=0，解得d=3或d=0（舍去），
所以a_n=1+（n-1）d=3n-2；
（2）由（1）得，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$），
则S_n=$\frac{1}{3}$[（1-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}-\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$）]
=$\frac{1}{3}$（$1-\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{n}{3n+1}$，
所以S_n＞$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{4}$为$\frac{n}{3n+1}$＞$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{4}$，化简得，
n²-25n-8＞0，又n是正整数，解得n≥26，
所以S_n=$\frac{n}{3n+1}$，使得S_n＞$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{4}$成立的最小正整数n为26．

点评 本题考查等比中项的性质、等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和，考查了化简、变形能力．