Question

7．已知两个正变量x，y，满足x+y=4，则使不等式$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$≥m恒成立的实数m的取值范围是（-∞，$\frac{9}{4}$]，当x=$\frac{4}{3}$，y=$\frac{8}{3}$时等号成立．

Answer 1

分析 运用乘1法，可得$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=$\frac{1}{4}$（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$），由基本不等式可得最小值，进而得到m的范围和相应x，y的值．

解答 解：x＞0，y＞0，且x+y=4，可得
$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=$\frac{1}{4}$（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$）=$\frac{9}{4}$，
当且仅当y=2x=$\frac{8}{3}$，$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$取得最小值$\frac{9}{4}$，
由不等式$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$≥m恒成立，可得m≤$\frac{9}{4}$．
故答案为：（-∞，$\frac{9}{4}$]，$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意转化为求最值问题，注意运用乘1法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．