题目内容
15．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①cos211°+sin241°-cos11°sin41°；
②cos222°+sin252°-cos22°sin52°；
③cos230°+sin260°-cos30°sin60°；
④cos244°+sin244°-cos44°sin74°；
⑤cos255°+sin285°-cos55°sin85°．
将该同学的发现推广三角恒等式为cos2α+sin2（α+30°）-cosαsin（α+30°）=$\frac{3}{4}$．
分析 依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“cos2α+sin2（α+30°）-cosαsin（α+30°）=$\frac{3}{4}$”的规律．然后利用三角函数的化简即可得到答案
解答 解：根据式子特点猜想：cos2α+sin2（α+30°）-cosαsin（α+30°）=$\frac{3}{4}$
cos2α+sin2（α+30°）-cosαsin（α+30°）
=cos2α+（sin30°cosα+cos30°sinα）2-cosα（sin30°cosα+cos30°sinα）
=cos2α+（$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）2-cosα（$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）
=cos2α+（$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）（-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）
=cos2α-$\frac{1}{4}$cos2α+$\frac{3}{4}$sin2α=$\frac{3}{4}$，
故答案为：cos2α+sin2（α+30°）-cosαsin（α+30°）=$\frac{3}{4}$
点评 归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．
练习册系列答案
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19．定义在R上的可导函数f（x）满足f（x）-f（-x）=2x3，当x∈（-∞，0]时f'（x）＜3x2，实数a满足f（1-a）-f（a）≥-2a3+3a2-3a+1，则a的取值范围是（ ）
| A． | $[{\frac{3}{2}，+∞}）$ | B． | $（{-∞，\frac{3}{2}}]$ | C． | $[{\frac{1}{2}，+∞}）$ | D． | $（{-∞，\frac{1}{2}}]$ |
20．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若对任意x∈[-$\frac{1}{2}$，1]，不等式f（x）=|2x+a|-4恒成立，求实数a的取值范围．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若对任意x∈[-$\frac{1}{2}$，1]，不等式f（x）=|2x+a|-4恒成立，求实数a的取值范围．
7．“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（xi，yi）（i=1，2，…，6），如表所示：
已知$\overline y=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6{y_i}$=80．
（Ⅰ）求出q的值；
（Ⅱ）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；可供选择的数据：$\sum_{i=1}^6{{x_i}{y_i}}=3050$，$\sum_{i=1}^6{{x_i}^2}=271$
（Ⅲ）用$\widehat{y_i}$表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与xi对应的产品销量的估计值．当销售数据（xi，yi）对应的残差的绝对值$|\widehat{y_i}-{y_i}|≤1$时，则将销售数据（xi，yi）称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
（参考公式：线性回归方程中$\widehatb$，$\widehata$的最小二乘估计分别为$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$）
| 试销单价x（元） | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 产品销量y（件） | q | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
（Ⅰ）求出q的值；
（Ⅱ）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；可供选择的数据：$\sum_{i=1}^6{{x_i}{y_i}}=3050$，$\sum_{i=1}^6{{x_i}^2}=271$
（Ⅲ）用$\widehat{y_i}$表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与xi对应的产品销量的估计值．当销售数据（xi，yi）对应的残差的绝对值$|\widehat{y_i}-{y_i}|≤1$时，则将销售数据（xi，yi）称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
（参考公式：线性回归方程中$\widehatb$，$\widehata$的最小二乘估计分别为$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$）