Question

3．若函数f（x）=a^x+ka^-x（a＞0且a≠1）在R上既是奇函数又是增函数，则g（x）=log_a|x+k|的图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根据f（x）是奇函数得出k=-1，根据f（x）是增函数可得a＞1，得出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性与单调区间．

解答 解：∵f（x）是奇函数，∴f（0）=1+k=0，∴k=-1．∴f（x）=a^x-$\frac{1}{{a}^{x}}$，
∴当a＞1时，f（x）是增函数，当0＜a＜1时，f（x）是减函数，
∵f（x）是R上的增函数，∴a＞1．
∴g（x）=log_a|x-1|．（a＞1）．
∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，在（-∞，1）上是减函数．
故选A．

点评 本题考查了函数单调性的判断，函数奇偶性的性质，属于中档题．