Question

13．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=4，若t$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，则t为（-2，0）∪（0，2）．

Answer 1

分析 由t$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，即（t$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）＜0，又t$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$不共线，即可求得结论．

解答 解：∵t$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，
∴（t$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）＜0，
∴${t}^{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{b}{|}^{2}$＜0，
又|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=4，
∴4t²-16＜0，
∴-2＜t＜2，
又∵t$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$不共线，
∴t≠0，
t∈（-2，0）∪（0，2）．
故答案为：（-2，0）∪（0，2）．

点评 本题主要考查向量的数量积运算，注意排除t$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$共线的情况，属于中档题．