Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，左右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F₁的直线与椭圆C相交于A，B两点，且|AB|=

3

2

2

，求△AF₂B的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆离心率为

2

2

，|F₁F₂|=2，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，设直线AB的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，利用|AB|=

3

2

2

，结合韦达定理，求出k的值，再求出点F₂到直线AB的距离，|AB|，即可求△AF₂B的面积．

解答： 解：（Ⅰ）由已知2c=2，所以c=1．…（1分）
因为椭圆离心率为

2

2

，所以

c

a

=

2

2

．…（2分）
所以a=

2

．…（3分）
所以b=

a2-c2

=1，…（4分）
故椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）若直线AB的方程为x=-1，则|AB|=

2

，不符合题意．
设直线AB的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程消去y得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，…（6分）
显然△＞0成立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

                       …（7分）
所以|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

1+k2

•

16k4 (1+2k2)2 - 4(2k2-2) 1+2k2

=

2 2 (1+k2)

1+2k2

．…（9分）
由已知

2 2 (1+k2)

1+2k2

=

3 2

2

，解得k=±

2

2

．…（10分）
当k=

2

2

时，直线AB的方程为y=

2

2

（x+1），即x-

2

y+1=0，
点F₂到直线AB的距离d=

|1+1|

1+2

=

2 3

3

．…（11分）
所以△AF₂B的面积=

1

2

|AB|d=

6

2

．…（12分）
当k=-

2

2

时，△AF₂B的面积也等于

6

2

．
综上，△AF₂B的面积等于

6

2

．…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查三角形面积的计算，属中档题．