Question

14．（Ⅰ）求不等式|2x-4|+|x+1|≥5解集；
（Ⅱ）已知a，b为正数，若直线（a-1）x+2y+6=0与直线2x+by-5=0互相垂直，求证：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$≥8．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据直线的垂直关系，求出关于a，b的等式，根据基本不等式的性质证明即可．

解答 解：（Ⅰ）设f（x）=|2x-4|+|x+1|，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x-3，x≥2}\\{-x+5，-1≤x＜2}\\{-3x+3，x＜-1}\end{array}\right.$，
x≥2时，3x-3≥5，解得：x≥$\frac{8}{3}$，
-1≤x＜2时，-x+5≥5，解得：x≤0，
x＜-1时，-3x+3≥5，解得：x≤-$\frac{2}{3}$，
综上，不等式的解集是（-∞，0]∪[$\frac{8}{3}$，+∞）．
（Ⅱ）证明：∵直线（a-1）x+2y+6=0与直线2x+by-5=0互相垂直，
∴2（a-1）+2b=0，得：a+b=1，
∵ab≤${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$，当且仅当a=b时取“=”，
∴$\frac{1}{ab}$≥4，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥$\frac{2}{ab}$≥8，当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时取“=”，
即：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$≥8．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．