Question

某电视厂家有A，B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A，B型号电视机的价值分别为p，q万元．农民购买电视机获得相应的补贴分别为

1

10

p，mln（q+1）（m＞0）万元．若厂家把总价值为10万元的A，B两型号电视机投放市场，且A，B两型号的电视机投放金额都不低于1万元．
（1）当m=

2

5

时，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值；（精确到0.1，参考数据，ln4=1.4）
（2）当m∈（

1

5

，1）时，试讨论农民得到的补贴随厂家投放B型号电视机金额的变化而变化的情况．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）将m=

2

5

代入到mln（q+1）中得到农民购买B种型号电视机获得相应的补贴为

2

5

ln（q+1）．然后设出农民得到的补贴为y元，令y′=0，并根据增减性判断出y有最大值求出即可．
（2）设投放B型号电视机金额为b，求得函数、分类讨论，利用导函数的正负，确定y在[1，9]上单调性，故可得结论．

解答： 解；（1）当m=

2

5

时，农民购买B种型号电视机获得相应的补贴为

2

5

ln（q+1）．
设厂家投放市场A、B两种型号的电视机的价值分别为x万元，（10-x）万元，这次活动中农民得到的补贴为y万元，则y=

x

10

+

2

5

ln（11-x），
然后令y′=0得：

1

10

-

2

55-5x

=0，
解得：x=7，
∵1＜x＜7时，y′＞0，y是增函数；7＜x＜11时，y′＜0，y是减函数．
∴x=7时，y有最大值，y_max=

7

10

+

2

5

ln4≈1.26万元；
（2）设投放B型号电视机金额为b，
这次活动中农民得到的补贴为y=

10-b

10

+mln（1+b），y′=-

1

10

+

m

1+b

=

10m-(1+b)

10(1+b)

当m∈（

1

5

，1）时，10m∈（2，10），1≤b≤9，
∴10m≥1+b时，y'＞0，∴y在[1，9]上是增函数，因此随B型电视机投放金额x的增加，农民得到的补贴逐渐增加；
10m＜1+b时，y'＜0，∴y在[1，9]上是减函数，因此随B型电视机投放金额x的增加，农民得到的补贴逐渐减少．

点评：本题以实际问题为素材，考查函数模型的构建，考查学生分析解决问题的能力，同时考查利用导数研究函数的单调性与最值，综合性强．