Question

在△ABC中，角，A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量

m

=（cos

3A

2

，sin

3A

2

），

n

=（cos

A

2

，sin

A

2

），且满足|

m

+

n

|=

3

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b+c=

3

a，求角B和角C的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由|

m

+

n

|=

3

，平方后化简可得cosA=

1

2

，由0＜A＜π，可求A的值．
（Ⅱ）由正弦定理得：sinB+sinC=

3

sinA，即可求得sin（B-

π

6

）=

3

2

，由0＜B＜

2π

3

，可得B=

π

6

或

π

2

，从而求得角B和角C的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵|

m

+

n

|=

3

．得

m

2+

n

2+2

m

•

n

=3，
即有：1-1+2（cos

3A

2

cos

A

2

+sin

3A

2

sin

A

2

）=3，
∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

…6分
（Ⅱ）∵b+c=

3

a，由正弦定理得：sinB+sinC=

3

sinA，
∴sinB+sin（

2π

3

-B）=

3

×

3

2

，
即有

3

2

sinB+

1

2

cosB=

3

2

，sin（B-

π

6

）=

3

2

，
∵0＜B＜

2π

3

，∴B+

π

6

=

π

3

或

2π

3

，则B=

π

6

或

π

2

，
当B=

π

6

时，C=

π

2

；
当B=

π

2

时，C=

π

6

…12分

点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理的综合应用，平面向量数量积的运算，属于基本知识的考查．