Question

已知关于x的方程x²+ax+4=0．求下列条件下a的取值范围．
（1）若关于x的方程在[-1，5）上有解．
（2）若关于x的方程在[-1，5）上无解．
（3）若关于x的方程在[-1，5）上只有一解．
（4）若关于x的方程在[-1，5）有两个不同的实数解．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，令f（x）=x²+ax+4，从而可得对称轴为-

a

2

，开口向上，f（0）=4，△=a²-4×4=（a+4）（a-4）；
（1）在△≥0的情况下按对称轴的位置讨论即可，故分三种情况讨论；
（2）由（1）可直接写出（2）中a的取值范围；
（3）在有解的条件下排除有两个不同的解，从而得到有一解的情况即可；
（4）由（3）直接写出即可．

解答： 解：令f（x）=x²+ax+4，
则有对称轴为-

a

2

，开口向上，f（0）=4，
△=a²-4×4=（a+4）（a-4）；
（1）若使关于x的方程在[-1，5）上有解，
①若a≥4，则-

a

2

≤-2；
则f（-1）=1-a+4≤0，
解得a≥5，此时方程在[-1，5）上有一个解；
②若-10＜a≤-4，则2≤-

a

2

＜5，
则f（-

a

2

）=-

a2

4

+4≤0，
即-10＜a≤-4；
③若a≤-10，则-

a

2

≥5，
则f（5）=25+5a+4＜0，
解得，a＜-

29

5

，此时方程在[-1，5）上有一个解；
综上所述，a≥5或a≤-4；
（2）若使关于x的方程在[-1，5）上无解，
则-4＜a＜5；
（3）若使关于x的方程在[-1，5）上有两个不同的解，
则

-10＜a≤-4 f(- a 2 )=- a2 4 +4＜0 f(5)=25+5a+4＞0

解得，
-

29

5

＜a＜-4，
故关于x的方程在[-1，5）上只有一解时，
a≥5或a=-4或a≤-

29

5

；
（4）由（3）知，-

29

5

＜a＜-4．

点评：本题考查了二次函数的性质及图象，属于中档题．