Question

13．已知α∈（$\frac{π}{2}$，π），sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）求sin（$\frac{π}{4}$+α）的值；
（2）（理科）求cos（$\frac{5π}{6}$-2α）的值．
（文科）求cos2α+sin2α的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角差的三角公式，求得sin（$\frac{π}{4}$+α）的值．
（2）利用二倍角公式求得）cos2α+sin2α 的值．

解答 解：（1）∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$+α）=sin$\frac{π}{4}$cosα+cos$\frac{π}{4}$sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}•（-\frac{2\sqrt{5}}{5}）$+$\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{1}{5}$=$\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{10}}{10}$．
（2）（理科）cos（$\frac{5π}{6}$-2α）=-sin（$\frac{π}{3}$-2α）=-sin$\frac{π}{3}$cos2α+cos$\frac{π}{3}$sin2α
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（2cos²α-1）+$\frac{1}{2}$•2sinαcosα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（2•$\frac{4}{5}$-1）+$\frac{\sqrt{5}}{5}•（-\frac{2\sqrt{5}}{5}）$=$\frac{-3\sqrt{3}-10}{10}$=-$\frac{3\sqrt{3}+10}{10}$．
（文科）cos2α+sin2α=（2cos²α-1）+2sinαcosα=（2•$\frac{4}{5}$-1）+2•$\frac{\sqrt{5}}{5}$•（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）=$\frac{3}{5}$-$\frac{4}{5}$=-$\frac{1}{5}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式、二倍角公式的应用，属于基础题．