Question

圆C的参数方程为

x=a+2cosθ  y=a2+2sinθ

（θ为参数），设圆心C的轨迹方程为曲线M，若斜率为2的直线L与曲线M相切，且被圆C截得的弦长为

4 5

5

，则a的可能取值的集合是（　　）

• A、{1，3}
• B、{-1，-3}
• C、{-1，3}
• D、{1，-3}

Answer 1

考点：圆的参数方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：先将圆的参数方程化为标准方程，写出圆心和半径，求出轨迹M，设出直线方程y=2x+b，由直线与曲线相切的条件求出b，再根据直线与圆相交的弦长公式，求出圆心到直线的距离d，再由点到直线的距离公式即可求出a．

解答： 解：圆C的参数方程为

x=a+2cosθ  y=a2+2sinθ

（θ为参数），
则圆的标准方程为（x-a）²+（y-a²）²=4，圆心为（a，a²），半径为2，
曲线M为：y=x²，令斜率为2的直线L为：y=2x+b，
由

y=x2 y=2x+b

消去y，得x²-2x-b=0，
由直线L与曲线M相切，得：2²-4×1×（-b）=0，即b=-1，
∴直线L为：y=2x-1即2x-y-1=0，
∴圆心到直线的距离d=

|2a-a2-1|

22+(-1)2

=

|a2-2a+1|

5

，
又直线M被圆C截得的弦长为

4 5

5

，
由弦长公式得，

4 5

5

=2

22-d2

，即d=

4

5

，
∴|a²-2a+1|=4，即a²-2a+1=±4，
由a²-2a+1=4，解得a=-1或3，
由a²-2a+1=-4，得方程无实数解．
∴a的可能取值的集合是{-1，3}．
故选：C．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交所得弦长的问题，注意运用弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查基本的运算能力．