Question

已知函数f（x）=x²+2ax，x∈[-5，5]．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使f（x）在区间[-5，5]上是减函数；
（3）求函数f（x）的最小值g（a），并求g（a）的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：1）当a=-1时，函数f（x）=（x-1）²-1，再利用二次函数的性质求得函数在[-5，5]上的最值．
（2）根据y=f（x）的对称轴为x=-a，且在区间[-5，5]上是单调减函数，可得-a≥5，由此求得a的范围．
（3）由于y=f（x）=（x+a）²+2-a² 的对称轴为x=-a，再根据对称轴和区间的关系分类讨论，根据函数的单调性求得g（a）的解析式，从而求得g（a）的最大值．

解答： 解：（1）当a=-1时，函数f（x）=x²+2ax=x² -2x=（x-1）²-1，
再由x∈[-5，5]，可得当x=1时，函数取得最小值为-1，当x=-5时，函数取得最大值为35．
（2）∵y=f（x）=x²+2ax=（x+a）²-a² 的对称轴为x=-a，
且在区间[-5，5]上是单调减函数，可得-a≥5．
解得：a≤-5，故a的范围为：（-∞，-5]．
（3）由于y=f（x）=x²+2ax=（x+a）²-a² 的对称轴为x=-a，
故当-5≤-a≤5时，即-5≤a≤5时，f（x）在区间[-5，5]上最小值g（a）=-a²．
当-a＜-5时，即a＞5时，由于f（x）在区间[-5，5]上单调递增，g（a）=f（-5）=25-10a，
当-a＞5时，即a＜-5时，由于f（x）在区间[-5，5]上单调递减，g（a）=f（5）=25+10a．
综上，g（a）=

25+10a，(a＜-5) -a2，(-5≤a≤5) 25-10a，(a＞5)

．
当a＜-5时，g（a）＜-25； 当-5≤a≤5 时，-25≤g（a）≤0；当a＞5时，g（a）＜-25．
综合可得，g（a）的最大值为0，此时，a=0．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．