题目内容
a1=4，an+1=2an+2n+1，令bn=
．
（1）求证{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式，并其求的前项和Sn的通项．
| an |
| 2n |
（1）求证{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式，并其求的前项和Sn的通项．
考点：数列的求和,等差关系的确定
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由已知得
=
+1，由此能证明{bn}是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知
=2+（n-1）×1=n+1，从而an=（n+1）•2n．由此利用错位相减法能求出Sn=n•2n+1．
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
（2）由（1）知
| an |
| 2n |
解答：
（1）证明：∵a1=4，an+1=2an+2n+1，令bn=
．
∴
=
+1，
∴
-
=1，
∵
=2，bn=
，
∴{bn}是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）解：由（1）知
=2+（n-1）×1=n+1，
∴an=（n+1）•2n．
∴Sn=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，①
2Sn=2•22+3•23+4•24+…+(n+1)•2n+1，②
①-②，得：-Sn=4+22+23+…+2n-（n+1）•2n+1
=4+
-（n+1）•2n+1
=2n+1-（n+1）•2n+1，
∴Sn=n•2n+1．
| an |
| 2n |
∴
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
∴
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
∵
| a1 |
| 2 |
| an |
| 2n |
∴{bn}是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）解：由（1）知
| an |
| 2n |
∴an=（n+1）•2n．
∴Sn=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，①
2Sn=2•22+3•23+4•24+…+(n+1)•2n+1，②
①-②，得：-Sn=4+22+23+…+2n-（n+1）•2n+1
=4+
| 4(1-2n-1) |
| 1-2 |
=2n+1-（n+1）•2n+1，
∴Sn=n•2n+1．
点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
如图所示，直线y=m与抛物线y2=8x交与点A，与圆（x-2）2+y2=16的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是（ ）| A、（6，8） |
| B、（4，6） |
| C、（8，12） |
| D、（8，10） |
