Question

20．已知不等式9x²-log_ax＜0，当$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$时恒成立，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 不等式9x²-log_ax＜0，当$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$时恒成立?log_ax＞9x²，当$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$时恒成立，即[log_ax]_min＞[9x²]_max，利用对数函数与二次函数的单调性可得log_a$\frac{1}{3}$≥9×${（\frac{1}{3}）}^{2}$，从而可得实数a的取值范围．

解答 解：不等式9x²-log_ax＜0，当$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$时恒成立?log_ax＞9x²，当$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$时恒成立，
∴[log_ax]_min＞[9x²]_max，
又0＜a＜1，
∴y=log_ax在区间（0，$\frac{1}{3}$）上单调递减，又y=9x²在区间（0，$\frac{1}{3}$）上单调递增，
∴log_a$\frac{1}{3}$≥9×${（\frac{1}{3}）}^{2}$=1，
∴$\frac{1}{3}$≤a＜1，
故答案为：[$\frac{1}{3}$，1）．

点评 本题考查函数恒成立问题，依题意，得到当$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$时，[log_ax]_min＞[9x²]_max是关键，考查对数函数与二次函数的单调性的综合运用，漏掉等号是易错点，属于难题．