Question

15．已知$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$，
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明之；
（Ⅲ）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用函数的奇偶性定义判断，先求函数的定义域，看是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）是相等还是相反即可；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），并利用指数的运算性质，判断出f（x₁）与f（x₂）的大小，即可证明f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
（Ⅲ）可运用分离常数的办法求此函数的值域，将函数f（x）等价转化为f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，再由复合函数值域的求法即换元法，求此函数值域即可．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域为R，
f（-x）+f（x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$+$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{（2}^{x}-1）{（2}^{-x}+1）+{（2}^{-x}-1）{（2}^{x}+1）}{{（2}^{x}+1）{（2}^{-x}+1）}$=0，
∴函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）f（x）是（-∞，+∞）上的增函数
证明：设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∴a^x₁-a^x₂＜0，a^x₁+1＞0，a^x₂+1＞0，
∴$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
（Ⅲ）∵f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
设t=a^x，则t＞0，y=1-$\frac{2}{t+1}$的值域为（-1，1），
∴该函数的值域为（-1，1）．

点评 本题考察了函数奇偶性的定义和判断方法，求函数值域的方法和证明函数单调性的方法，解题时要准确把握基本概念，熟练的运用转化化归思想解题