Question

10．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，侧棱AA₁⊥面ABC，若AB=AA₁，则直线A₁B与AC所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{14}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{14}}{4}$

Answer 1

分析 由题意，底面ABC为正三角形，侧棱AA₁⊥面ABC，通过补形将三棱柱ABC-A₁B₁C₁的转化为长方体，找到直线A₁B与AC所成角平面角，利用余弦定理求解．

解答 解：底面ABC为正三角形，侧棱AA₁⊥面ABC，过B，C点分别作AC，AB的平行线交于F，同理，作过B₁，C₁点分别作A₁B，A₁C₁的平行线交于E，连接EF，可得ABCF-A₁B₁C₁E为长方体．底面是菱形．
∴AC∥BF，
故直线A₁B与AC所成角即为∠A₁BF（或补角）
∵底面ABC为正三角形，设AB═AC=AA₁=a，则A₁B=$\sqrt{2}a$，
AF=$\sqrt{3}a$，A₁F=$\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}+A{F}^{2}}=2a$．
那么|cos∠A₁BF|=|$\frac{{A}_{1}{B}^{2}+B{F}^{2}-{{A}_{1}F}^{2}}{2{A}_{1}B•BF}$|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
故选B．

点评 本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．