Question

12．已知函数$f（x）=\frac{x}{{1+{x^2}}}$，x∈（0，1）．
（1）令x₁，x₂∈（0，1），证明：（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]≥0；
（2）若x∈（0，1）时，恒有$\frac{{3{x^2}-x}}{{1+{x^2}}}≥a（{x-\frac{1}{3}}）$，求a的值；
（3）若x₁，x₂，x₃都是正数，且x₁+x₂+x₃=1，求$y=\frac{{3x_1^2-{x_1}}}{1+x_1^2}+\frac{{3x_2^2-{x_2}}}{1+x_2^2}+\frac{{3x_3^2-{x_3}}}{1+x_3^2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）只需证明函数$f（x）=\frac{x}{{1+{x^2}}}$，在（0，1）上递增即可
（2）当x=$\frac{1}{3}$时，a∈R，
当x∈（0，$\frac{1}{3}$）时，恒有$\frac{{3{x^2}-x}}{{1+{x^2}}}≥a（{x-\frac{1}{3}}）$，⇒a≥$\frac{3x}{1+{x}^{2}}$，由（1）得，⇒y$\frac{3x}{1+{x}^{2}}$，在（0，1）上递增，∴a≥$\frac{9}{10}$；
当x∈（$\frac{1}{3}$，1）时，恒有$\frac{{3{x^2}-x}}{{1+{x^2}}}≥a（{x-\frac{1}{3}}）$，⇒a≤$\frac{3x}{1+{x}^{2}}$，由（1）得，⇒y$\frac{3x}{1+{x}^{2}}$，∈（$\frac{1}{3}$，1）上递增∴a≤$\frac{9}{10}$；
（3）由（1）得a=$\frac{9}{10}$
  x∈（0，1）时，恒有$\frac{{3{x^2}-x}}{{1+{x^2}}}≥a（{x-\frac{1}{3}}）$，
$y=\frac{{3x_1^2-{x_1}}}{1+x_1^2}+\frac{{3x_2^2-{x_2}}}{1+x_2^2}+\frac{{3x_3^2-{x_3}}}{1+x_3^2}$≥$\frac{9}{8}（{x}_{1}-\frac{1}{3}）+\frac{9}{8}（{x}_{2}-\frac{1}{3}）+\frac{9}{8}（{x}_{2}-\frac{1}{3}）$=$\frac{9}{8}（{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}-1）=0$．

解答 解：（1）令x₁，x₂∈（0，1），且x₁＞x₂，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}-\frac{{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}=\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$
∵x₁，x₂∈（0，1），且x₁＞x₂，∴x₁-x₂＞0，1-x₁x₂＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
故函数$f（x）=\frac{x}{{1+{x^2}}}$，在（0，1）上递增，∴：（x₁-x₂）•[f（x₁）-f（x₂）]≥0．
（2）当x=$\frac{1}{3}$时，a∈R，
当x∈（0，$\frac{1}{3}$）时，恒有$\frac{{3{x^2}-x}}{{1+{x^2}}}≥a（{x-\frac{1}{3}}）$，⇒a≥$\frac{3x}{1+{x}^{2}}$，由（1）得，⇒y$\frac{3x}{1+{x}^{2}}$，在（0，1）上递增，∴a≥$\frac{9}{10}$；
当x∈（$\frac{1}{3}$，1）时，恒有$\frac{{3{x^2}-x}}{{1+{x^2}}}≥a（{x-\frac{1}{3}}）$，⇒a≤$\frac{3x}{1+{x}^{2}}$，由（1）得，⇒y$\frac{3x}{1+{x}^{2}}$，∈（$\frac{1}{3}$，1）上递增∴a≤$\frac{9}{10}$；
综上：a=$\frac{9}{10}$
（3）∵x₁，x₂，x₃都是正数，且x₁+x₂+x₃=1，∴x₁，x₂，x₃∈（0，1），由（1）得a=$\frac{9}{10}$
  x∈（0，1）时，恒有$\frac{{3{x^2}-x}}{{1+{x^2}}}≥a（{x-\frac{1}{3}}）$，
$y=\frac{{3x_1^2-{x_1}}}{1+x_1^2}+\frac{{3x_2^2-{x_2}}}{1+x_2^2}+\frac{{3x_3^2-{x_3}}}{1+x_3^2}$≥$\frac{9}{8}（{x}_{1}-\frac{1}{3}）+\frac{9}{8}（{x}_{2}-\frac{1}{3}）+\frac{9}{8}（{x}_{2}-\frac{1}{3}）$=$\frac{9}{8}（{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}-1）=0$．
$y=\frac{{3x_1^2-{x_1}}}{1+x_1^2}+\frac{{3x_2^2-{x_2}}}{1+x_2^2}+\frac{{3x_3^2-{x_3}}}{1+x_3^2}$的最小值为0．

点评 本题考查了函数的单调性及最值，分类讨论思想、转化思想是关键，属于基础题．