Question

已知函数f（x）=

x2+a

x+b

图象在点M（0，f（0））处的切线方程为3x-4y-6=0，
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）用导数的几何意义求出切线的斜率，点利用函数f（x）=

x2+a

x+b

图象在点M（0，f（0））处的切线方程为3x-4y-6=0，可得f（0）=-

3

2

，f′（0）=

3

4

，即可求出a、b值；
（2）利用导数的正负可得函数y=f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x2+a

x+b

，
∴f′（x）=

2x(x+b)-(x2+a)

(x+b)2

，
∵函数f（x）=

x2+a

x+b

图象在点M（0，f（0））处的切线方程为3x-4y-6=0，
∴f（0）=-

3

2

，f′（0）=

3

4

，
∴

a

b

=-

3

2

，

-a

b2

=

3

4

，
∴b=2，a=-3，
∴f（x）=

x2-3

x+2

；
（2）f′（x）=

(x+1)(x+3)

(x+2)2

，
由f′（x）＞0，可得x＜-3或x＞-1，∴函数的单调增区间为（-∞，-3），（-1，+∞）；
由f′（x）＜0，可得-3＜x＜-1，∴函数的单调增区间为（-3，-1）．

点评：本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．