Question

已知函数f（x）=

3

sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

≤φ＜

π

2

）的图象关于直线x=

π

3

对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）若f（

α

2

）=

3

4

（

π

6

＜α＜

2π

3

），求cos（α+

3π

2

）的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线x=

π

3

对称，结合-

π

2

≤φ＜

π

2

可得 φ 的值．
（Ⅱ）由条件求得sin（α-

π

6

）=

1

4

．再根据α-

π

6

的范围求得cos（α-

π

6

）的值，再根据cos（α+

3π

2

）=sinα=sin[（α-

π

6

）+

π

6

]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴

2π

ω

=π，∴ω=2．
再根据图象关于直线x=

π

3

对称，可得 2×

π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈z．
结合-

π

2

≤φ＜

π

2

可得 φ=-

π

6

．
（Ⅱ）∵f（

α

2

）=

3

4

（

π

6

＜α＜

2π

3

），
∴

3

sin（α-

π

6

）=

3

4

，∴sin（α-

π

6

）=

1

4

．
再根据 0＜α-

π

6

＜

π

2

，
∴cos（α-

π

6

）=

1-sin2(α- π 6 )

=

15

4

，
∴cos（α+

3π

2

）=sinα=sin[（α-

π

6

）+

π

6

]=sin（α-

π

6

）cos

π

6

+cos（α-

π

6

）sin

π

6

=

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

=

3 + 15

8

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．