Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA+bsinB-csinC=asinB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若D为AB中点，CD=1，延长CD到E，使CD=DE，设∠ACD=α，将四边形AEBC的面积S用α表示，并求S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知等式利用正弦定理化简可得a²+b²-c²=ab，根据余弦定理可求cosC，结合C的范围可求C的值．
（Ⅱ）依题意得四边形AEBC为平行四边形，由正弦定理得$AE=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinα$，$AC=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（\frac{π}{3}-α）$，由三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用化简可得S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[2sin（2α+$\frac{π}{6}$）-1]，由范围$0＜α＜\frac{π}{3}$，可求$\frac{π}{6}＜2α+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，利用正弦函数的图象和性质可求四边形AEBC的面积S的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵asinA+bsinB-csinC=asinB．
∴得a²+b²-c²=ab，
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，
∴由C∈（0，π），可得：$C=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）依题意得△ADC≌△BDE，所以AC=BE
同理，AE=BC，所以四边形AEBC为平行四边形，
在△ACE中，由正弦定理得$\frac{AC}{{sin（\frac{π}{3}-α）}}=\frac{AE}{sina}=\frac{2}{{sin\frac{2π}{3}}}$，
所以$AE=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinα$，$AC=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（\frac{π}{3}-α）$，
所以$S=AE•AC•sin∠EAC=\frac{16}{3}sinαsin（\frac{π}{3}-α）sin\frac{2π}{3}$=$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}sinα（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosα-\frac{1}{2}sinα）$=$\frac{{8\sqrt{3}}}{3}（\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2α-\frac{1-cos2α}{4}）$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}（\sqrt{3}sin2α+cos2α-1）=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}[{2sin（2α+\frac{π}{6}）-1}]$，
因为$0＜α＜\frac{π}{3}$，所以$\frac{π}{6}＜2α+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
所以$2α+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$当，即$α=\frac{π}{6}$时，
四边形AEBC的面积S的最大值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．