Question

12．已知函数f（x）=me^x-x-2（其中e为自然对数的底数）
（1）若f（x）＞0在R上恒成立，求m的取值范围；
（2）若f（x）的两个零点为x₁，x₂，且x₁＜x₂，求$y=（{e^{x_2}}-{e^{x_1}}）（\frac{1}{{{e^{x_2}}+{e^{x_1}}}}-m）$的值域．

Answer 1

分析 （1）问题转化为$m＞\frac{x+2}{e^x}$，令$u（x）=\frac{x+2}{e^x}$，根据函数的单调性求出m的范围即可；
（2）令x₂-x₁=t（t＞0），得$g（t）=\frac{{{e^t}-1}}{{{e^t}+1}}-t（t＞0）$，根据函数的单调性求出g（t）的范围，从而求出函数的极值即可．

解答 （1）解：由f（x）＞0得me^x-x-2＞0，
即有$m＞\frac{x+2}{e^x}$，令$u（x）=\frac{x+2}{e^x}$，则$u'（x）=\frac{-x-1}{e^x}$，
令u'（x）＞0⇒x＜-1，u'（x）＜0⇒x＞-1，
∴u（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，+∞）上单调递减，
∴u（x）_max=u（-1）=e，∴m＞e．
（2）由题意，$m{e^{x_1}}-{x_1}-2=0$，$m{e^{x_2}}-{x_2}-2=0$，
$y=\frac{{{e^{x_2}}-{e^{x_1}}}}{{{e^{x_2}}+{e^{x_1}}}}-m（{e^{x_2}}-{e^{x_1}}）=\frac{{{e^{x_2}}-{e^{x_1}}}}{{{e^{x_2}}+{e^{x_1}}}}-（{x_2}-{x_1}）=\frac{{{e^{{x_2}-{x_1}}}-1}}{{{e^{{x_2}-{x_1}}}+1}}-（{x_2}-{x_1}）$．
令x₂-x₁=t（t＞0），$g（t）=\frac{{{e^t}-1}}{{{e^t}+1}}-t（t＞0）$，又$g'（t）=\frac{{-{e^{2t}}-1}}{{{{（{e^t}+1）}^2}}}＜0$，
∴g（t）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（t）＜g（0）=0，g（t）∈（-∞，0），
∴$y=（{e^{x_2}}-{e^{x_1}}）（\frac{1}{{{e^{x_2}}+{e^{x_1}}}}-m）$的值域为（-∞，0）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．