Question

15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，$\overrightarrow m=（a，2b-c）$，$\overrightarrow n=（cosA，cosC）$，且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$．
（Ⅰ）且角A的大小；
（Ⅱ）已知$a=2\sqrt{5}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$．建立关系，利用正弦定理化简可得角A的大小
（Ⅱ）根据A的大小和$a=2\sqrt{5}$，利用余弦定理建立关系，与不等式基本性质求出bc的最大值，可得△ABC面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow m=（a，\;\;2b-c）$，$\overrightarrow n=（cosA，\;\;cosC）$，
且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n⇒acosC=（2b-c）cosA$，
在△ABC中，由正弦定理：a：b：c=sinA：sinB：sinC，
可得：sinAcosC=（2sinB-sinC）cosA，
∴sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
而在△ABC中，sinB＞0，
∴$cosA=\frac{1}{2}$，
$0＜A＜π⇒A=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）在△ABC中，${b^2}+{c^2}-2bccosA={a^2}⇒{（2\sqrt{5}）^2}={b^2}+{c^2}-bc≥bc$（当且仅当b=c时，等号成立），
即${（bc）_{max}}=20（b=c=2\sqrt{5}）$，
又${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$，
∴${（{S_{△ABC}}）_{max}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×20=5\sqrt{3}$，
因此，△ABC面积的最大值为$5\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量的运算、正余弦定理、基本不等式的性质的综合运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．