题目内容
13．设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若在曲线C的右支上存在点P，使得△PF1F2的内切圆半径为a，圆心记为M，又△PF1F2的重心为G，满足MG平行于x轴，则双曲线C的离心率为（ ）| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2 | D． | $\sqrt{5}$ |
分析 由MG平行于x轴得yG=yM=a，则yP=3yG=3a，通过${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•3a=$\frac{1}{2}$•（|PF1|+|PF2|+2c）•a，又|PF1|-|PF2|=2a，求出P（2a，3a），代入椭圆方程转化求解离心率即可．
解答 解：由MG平行于x轴得yG=yM=a，则yP=3yG=3a，
所以${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•3a=$\frac{1}{2}$•（|PF1|+|PF2|+2c）•a，又|PF1|-|PF2|=2a，
则|PF1|=2c+a，|PF2|=2c-a．由|PF1|2-（xP+c）2=|PF2|2-（c-xP）2得xP=2a，
因此P（2a，3a），代入椭圆方程得$\frac{（2a）^{2}}{{a}^{2}}-\frac{（{3a）}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即b=$\sqrt{3}$a，则e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=2．
故选：C．
点评 本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
练习册系列答案
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
相关题目
如图，已知△ABC中，D为BC上一点，∠DAC=$\frac{π}{4}$，cos∠BDA=-$\frac{3}{5}$，AC=4$\sqrt{2}$．
1．已知$cosα-sinα=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，则sin2α的值为（ ）
| A． | $\frac{1}{8}$ | B． | $-\frac{1}{8}$ | C． | $\frac{7}{8}$ | D． | $-\frac{7}{8}$ |
8．若a，b∈R，ab≠0，且a+b=1，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
| A． | a2b2≤$\frac{1}{16}$ | B． | a2+b2≥$\frac{1}{2}$ | C． | （1+$\frac{1}{a}$）（1+$\frac{1}{b}$）≥9 | D． | $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥4 |
2．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦点为F，点C是椭圆与x轴负半轴的交点，点D是椭圆与y轴正半轴的交点，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，CD∥OA（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）
| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |