Question

13．已知一个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若球的半径为1，则当圆锥的体积最大时，圆锥的高为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 设圆锥高为h，底面半径为r，推出r²=2h-h²，求出体积的表达式，利用导数判断单调性求解函数的最值，得到结果．

解答 解：设圆锥高为h，底面半径为r，则1²=（h-1）²+r²，∴r²=2h-h²，
∴V=$\frac{1}{3}$πr²h=$\frac{π}{3}$h（2h-h²）=$\frac{2}{3}$πh²-$\frac{π}{3}$h³，∴V′=$\frac{4}{3}$πh-πh²，令V′=0得h=$\frac{4}{3}$或h=0（舍去），
当0＜h＜$\frac{4}{3}$时，V′＞0，函数V是增函数；当$\frac{4}{3}$＜h＜2时，V′＜0．函数V是减函数，
因此当h=$\frac{4}{3}$时，函数取得极大值也最大值，此时圆锥体积最大．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查立体几何几何体的体积的求法，函数的最值的应用，考查导数的运算法则以及函数的单调性的判断，考查分析问题解决问题的能力．