Question

设函数f（x）=x³+3bx²+3cx有两个极值点x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]，则（　　）

• A、-10≤f（x₁）≤-

  1

  2

• B、-

  1

  2

  ≤f（x₁）≤0
• C、0≤f（x₁）≤

  7

  2

• D、

  7

  2

  ≤f（x₁）≤10

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：f（x）得f′（x）=3x²+6bx+3c由题意知方程f′（x）=0有两个根x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]则由根的分布得有2b-c-1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0，可得-2≤c≤0，用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x₁）的值域，再利用参数c的范围求出f（x₁）的范围即可．

解答： 解：f′（x）=3x²+6bx+3c，
由题意知方程f′（x）=0有两个根x₁，x₂，且x₁∈[-1，0]，x₂∈[1，2]，
则有f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0．
即满足下列条件2b-c-1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0
故有图中四边形ABCD即是满足这些条件的点（b，c）的区域．
所以-2≤c≤0
由题设知f'（x₁）=3x₁²+6bx₁+3c=0，
则bx₁=-

1

2

x₁²-

1

2

c，
故f（x₁）=-

1

2

x13+

3c

2

x1
由于x₁∈[-1，0]，c≤0，
故0≤f（x₁）≤

1

2

-

3c

2

因为-2≤c≤0，
所以0≤f（x₁）≤

7

2

．
故选：C．

点评：解决此类问题的关键是熟悉导数与实根分布问题的处理方法，有难度．