Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，点F是椭圆的左焦点，A为椭圆的右顶点，B为椭圆的上顶点，且

FB

•

FA

=

2

+1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀）关于直线2x-y=0的对称点P′在椭圆C上，求z=4x₀+3y₀的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）根据F（-c，0），A（A，0），B（0，b）．由

FB

•

FA

=

2

+1得，ac+c²=

2

+1．e=

2

2

，解方程求解．
（2）设点P（x′，y′），则

y′-y0 x′-x0 ×2=-1 2× x′+x0 2 - y′+y0 2 =0

，解得

x0= 4 5 y′- 3 5 x′ y0= 3 5 y′+ 4 5 x′

，代入椭圆的方程，根据自变量的范围求解．

解答： 解：（Ⅰ）设焦距为2c（c＞0），则F（-c，0），A（A，0），B（0，b）．
由

FB

•

FA

=

2

+1得，ac+c²=

2

+1．
又∵e=

c

a

=

2

2

，解得a=

2

，c=1，∴b=1．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）设点P（x′，y′），则

y′-y0 x′-x0 ×2=-1 2× x′+x0 2 - y′+y0 2 =0

，解得

x0= 4 5 y′- 3 5 x′ y0= 3 5 y′+ 4 5 x′

∴z=4x₀+3y₀=5y′．
∵P（x′，y′）在椭圆C上，∴-1≤y′≤1，
∴-5≤z≤5，即z=4x₀+3y₀的取值范围为[-5，5]．

点评：本题考查了椭圆的方程，定义，直线与椭圆的位置关系，运算仔细认真．