Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n+2S_nS_n-1=0 （n≥2），a₁=

1

2

，求a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：把数列递推式中a_n换为s_n-s_n-1，整理得到{

1

Sn

}是等差数列，公差d=2，然后由等差数列的通项公式得答案．

解答： ：解：∵a_n+2s_ns_n-1=0（n≥2），
∴s_n-s_n-1+2s_ns_n-1=0．两边除以2s_ns_n-1，并移向得出

1

Sn

-

1

Sn-1

=2(n≥2)，
∴{

1

Sn

}是等差数列，公差d=2，

1

S1

=

1

a1

=2．
∴

1

Sn

=2+2(n-1)=2n，故Sn=

1

2n

．
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

．
当n=1时，a₁=

1

2

不符合上式．
∴a_n=

1 2 ，(n=1) - 1 2n(n-1) ，(n≥2)

．
故答案为：

1 2 ，(n=1) - 1 2n(n-1) ，(n≥2)

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．