Question

6．由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市政府决定从今年3月份开始进行汽车尾气的整治，为降低汽车尾气的排放量，我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，分别从两种节排器中随机抽取200件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．

节排器等级如表格所示

综合得分K的范围	节排器等级
K≥85	一级品
75≤k＜85	二级品
70≤k＜75	三级品

若把频率分布直方图中的频率视为概率，则
（1）如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，然后从这10件中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；
（2）如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，求其二级品数X的分布列及方差．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图得甲型号节排器等级为一级品的有120件，甲型号节排器等级为二级品的有80件，从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，则一级品抽到6件，二级品抽到4件，由此能求出从这10件中随机抽取3件，至少有2件一级品的概率．
（2）由已知及频率分布直方图中的信息得到乙型号的节排器中一级品的概率为$\frac{7}{10}$，二级品的概率为$\frac{1}{4}$，三级品的概率为$\frac{1}{20}$，从乙型节排器中随机抽取3件，则二级品数X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{4}$），由此能求出X的分布列和方差．

解答 解：（1）由频率分布直方图得甲型号节排器等级为一级品的有：（0.080+0.040）×5×200=120件，
甲型号节排器等级为二级品的有：（0.020+0.060）×5×200=80件，
从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，
则一级品抽到：10×$\frac{120}{120+80}$=6件，二级品抽到：10×$\frac{80}{120+80}$=4件，
∴从这10件中随机抽取3件，至少有2件一级品的概率：
p=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$+$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{2}{3}$．
（2）由已知及频率分布直方图中的信息得到乙型号的节排器中一级品的概率为$\frac{7}{10}$，二级品的概率为$\frac{1}{4}$，三级品的概率为$\frac{1}{20}$，
从乙型节排器中随机抽取3件，则二级品数X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，$\frac{1}{4}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{3}{4}）^{3}=\frac{27}{64}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{2}=\frac{27}{64}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）=\frac{9}{64}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{4}）^{3}$=$\frac{1}{64}$，
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

∵X～B（3，$\frac{1}{4}$），∴E（X）=3×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，D（X）=3×$\frac{1}{4}×（1-\frac{1}{4}）$=$\frac{9}{16}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．