Question

1．已知点P（2，0），点N到原点O与到点M（3，0）的距离之比为$\frac{1}{2}$，点N的轨迹为曲线C．
（1）求过点P且与曲线C相切的直线的方程；
（2）若过原点O的直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求△PAB面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设点N（x，y），由已知得|MN|=2|OM|，由此能求出点N的轨迹曲线C的方程，由曲线C是以（-1，0）为圆心，以r=2为半径的圆，能求出过点P且与曲线C相切的直线的方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时△PAB面积S_△PAB=2$\sqrt{3}$．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=mx，m≠0，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx}\\{（x+1）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+m²）x²+2x-3=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出△PAB面积的取值范围．

解答 解：（1）设点N（x，y），∵点N到原点O与到点M（3，0）的距离之比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{|ON|}{|MN|}$=$\frac{1}{2}$，∴|MN|=2|OM|，
∴$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
两边平方整理，得点N的轨迹曲线C的方程为：x²+y²+2x-3=0，
即（x+1）²+y²=4，
∴曲线C是以（-1，0）为圆心，以r=2为半径的圆，
当过点P（2，0）且与曲线C相切的直线的斜率不存在时，直线方程为x=2，
圆心C（-1，0）到直线x=2的距离为3≠r=2，不成立．
当直线的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），
∵圆心C（-1，0）到切线y=k（x-2）的距离等于半径r=2，
∴$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴过点P且与曲线C相切的直线的方程为y=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$（x-2）．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{（x+1）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得A（0，$\sqrt{3}$），B（0，-$\sqrt{3}$），
|AB|=2$\sqrt{3}$，点P（2，0）到直线AB的距离d=2，
此时△PAB面积S_△PAB=$\frac{1}{2}×|AB|×d$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=mx，m≠0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx}\\{（x+1）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+m²）x²+2x-3=0，
△=4+12（1+m²）＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2}{1+{m}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{3}{1+{m}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{2}{1+{m}^{2}}）^{2}-4×（-\frac{3}{1+{m}^{2}}）}$=2$\sqrt{\frac{4+3{m}^{2}}{1+{m}^{2}}}$，
点P（2，0）到直线y=mx的距离d=$\frac{|2m|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∴△PAB面积S_△PAB=$\frac{1}{2}|AB|•d$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{\frac{4+3{m}^{2}}{1+{m}^{2}}}×\frac{|2m|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{2|m|\sqrt{4+3{m}^{2}}}{1+{m}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{4+3{m}^{2}}{{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}+2}}$，
∴由${m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}+2$≥4，（当且仅当${m}^{2}=\frac{1}{{m}^{2}}$，即m²=1时取等号），
得当m²=1时，△PAB面积最小值（S_△PAB）_min=2$\sqrt{\frac{4+3}{4}}$=$\sqrt{7}$．
又$\underset{lim}{n→∞}（2\sqrt{\frac{4+3{m}^{2}}{{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}+2}}）$=2$\sqrt{3}$，
∴△PAB面积的取值范围是[$\sqrt{7}$，2$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查过已知点与曲线相切的直线方程的求法，考查三角形的面积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．