Question

20．设二次函数f（x）=ax²-2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则$\frac{1}{c+1}$+$\frac{4}{a+4}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 根据二次函数的值域得到a＞0，且判别式△=0，利用消元法进行转化，结合基本不等式进行求解即可．

解答 解：∵二次函数f（x）=ax²-2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4ac=0}\end{array}\right.$，即a＞0，ac=1，则c=$\frac{1}{a}$，
则$\frac{1}{c+1}$+$\frac{4}{a+4}$=$\frac{1}{\frac{1}{a}+1}$+$\frac{4}{a+4}$=$\frac{a}{1+a}$+$\frac{4}{a+4}$
=$\frac{a（a+4）+4（1+a）}{（a+1）（a+4）}$=$\frac{{a}^{2}+4a+4+4a}{{a}^{2}+5a+4}$=$\frac{{a}^{2}+5a+4+3a}{{a}^{2}+5a+4}$
=1+$\frac{3a}{{a}^{2}+5a+4}$=1+$\frac{3}{a+\frac{4}{a}+5}$，
∵a＞0，∴a+$\frac{4}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{4}{a}}$=4，当且仅当a=$\frac{4}{a}$，即a=2时取等号，
∴当a+$\frac{4}{a}$取最小值4时，$\frac{1}{c+1}$+$\frac{4}{a+4}$=1+$\frac{3}{a+\frac{4}{a}+5}$
取得最大值为1+$\frac{3}{4+5}$=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查是最值的求解，根据二次函数的性质得到ac=1．利用消元法结合基本不等式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．