Question

11．已知动圆C过定点F（$\frac{1}{2}$，0），且始终保持与直线l：x=-$\frac{1}{2}$相切．
（1）求⊙C的圆心的轨迹方程；
（2）设定点A（a，0），点Q为曲线C上动点，求点A到点Q距离的最小值d（a）

Answer 1

分析 （1）⊙C的圆心C的轨迹是以原点为中心，以点F（$\frac{1}{2}$，0）为焦点，以直线l：x=-$\frac{1}{2}$为准线的抛物线，由此能求出⊙C的圆心的轨迹方程．
（2）设Q（x，$\sqrt{2x}$），利用两点间距离公式求出点A到点Q距离|AQ|，利用配方法能求出点A到点Q距离的最小值d（a）．

解答 解：（1）∵动圆C过定点F（$\frac{1}{2}$，0），且始终保持与直线l：x=-$\frac{1}{2}$相切，
∴⊙C的圆心C的轨迹是以原点为中心，以点F（$\frac{1}{2}$，0）为焦点，以直线l：x=-$\frac{1}{2}$为准线的抛物线，
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得p=1，
∴⊙C的圆心的轨迹方程为y²=2x．
（2）∵定点A（a，0），点Q为曲线C：y²=2x上动点，
∴设Q（x，$\sqrt{2x}$），
∴点A到点Q距离|AQ|=$\sqrt{（x-a）^{2}+（\sqrt{2x}-0）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-（2a-2）x+{a}^{2}}$
=$\sqrt{[x-（a-1）]^{2}+{a}^{2}-（a-1）^{2}}$，
∴当x=a-1，即Q（a-1，$\sqrt{2a-2}$）时，
点A到点Q距离的最小值d（a）=$\sqrt{{a}^{2}-（a-1）^{2}}$=$\sqrt{2a-1}$．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查两点间距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线性质、两点间距离公式的合理运用．