Question

18．某高校数学系2016年高等代数试题有6个题库，其中3个是新题库（即没有用过的题库），3个是旧题库（即至少用过一次的题库），每次期末考试任意选择2个题库里的试题考试．
（1）设2016年期末考试时选到的新题库个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）已知2016年时用过的题库都当作旧题库，求2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率．

Answer 1

分析 （1）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
（2）设“从6个题库中任意取出2个题库，恰好取到一个新题库”为事件B，则“2017年时恰好取到一个新题库”就是事件A₀B，由此能求出2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，
设“2016年期末考试时取到i个新题库（即ξ=i）”为事件A_i（i=0，1，2）．
又因为6个题库中，其中3个是新题库，3个是旧题库，
所以$P（{A_0}）=P（ξ=0）=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{1}{5}$；$P（{A_1}）=P（ξ=1）=\frac{C_3^1C_3^1}{C_6^2}=\frac{3}{5}$；$P（{A_2}）=P（ξ=2）=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{1}{5}$，
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

ξ的数学期望为$E（ξ）=0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}=1$．
（2）设“从6个题库中任意取出2个题库，恰好取到一个新题库”为事件B，
则“2017年时恰好取到一个新题库”就是事件A₀B+A₁B+A₂B，而事件A₀B，A₁B，A₂B互斥，
所以P（A₀B+A₁B+A₂B）=P（A₀B）+P（A₁B）+P（A₂B）
=$\frac{1}{5}×\frac{C_3^1C_3^1}{C_6^2}+\frac{3}{5}×\frac{C_2^1C_4^1}{C_6^2}+\frac{1}{5}×\frac{C_5^1}{C_6^2}=\frac{38}{75}$．
所以2017年时恰好取到一个新题库的概率为$\frac{38}{75}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．