Question

已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心为原点，焦点F₁、F₂在x轴上，离心率为

1

3

，过点F₁的直线l交E于M、N两点，且△MNF₂的周长为4

3

，设椭圆E与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A、B，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,不等式的解法及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用椭圆的定义，结合△MNF₂的周长为4

3

，即可 求得a，再由离心率公式，即可得到c，再由a，b，c的关系，即可得到b，进而得到椭圆方程，再联立曲线|y|=kx（k＞0），求出交点为A、B，再求三角形OAB的面积，化简整理，再由基本不等式，即可得到最大值．

解答： 解：由于离心率为

1

3

，即有

c

a

=

1

3

，
由于过点F₁的直线l交E于M、N两点，且△MNF₂的周长为4

3

，
则|MF₁|+|NF₁|+|MF₂|+|NF₂|=4

3

，
由椭圆的定义，可得，|MF₁|+|MF₂|=2a，|NF₁|+|NF₂|=2a，
即有4a=4

3

，即有a=

3

，c=1，b=

2

，
则椭圆E的方程为：

x2

3

+

y2

2

=1，
由|y|=kx（k＞0）和椭圆E的方程联立，
可得A（

6 2+3k2

，k

6 2+3k2

），B（

6 2+3k2

，-k

6 2+3k2

），
则|AB|=2k

6 2+3k2

，
则△OAB面积为

1

2

•2k

6 2+3k2

•

6 2+3k2

=

6k

2+3k2

=

6

3k+ 2 k

（k＞0）≤

6

2 3k• 2 k

=

6

2

，
当且仅当3k=

2

k

，即k=

6

3

时，面积取最大值

6

2

．

点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，求出交点，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．