Question

已知公比不为1的等比数列{a_n}的首项a₁=2，前n项和为S_n，且a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆成等差数列．
（1）求等比数列{a_n}的通项公式．
（2）对n∈N₊，在a_n和a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，记插入的这n个数的和为b_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题（1）可以用首项和公比表示a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆，利用成等差条件，得到相应的方程，解方程得到本题结论；（2）利用（1）的结论，研究得到a_n和a_n+1之间的n个数，利用等差数列求和公式求和，得到b_n，再求数列{b_n}的前n项和T_n，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆成等差数列，
∴a₅+S₅-（a₄+S₄）=a₆+S₆-（a₅+S₅），
∴2a₅-a₄=2a₆-a₅，
∴2a₆-3a₅+a₄=0．
∵数列{a_n}为等比数列，
∴a₅=a₄q，a₆=2a₄q²，
∴2q²-3q+1=0，
∴（2q-1）（q-1）=0．
∵数列{a_n}公比不为1，
∴q=

1

2

．
∴a_n=2×(

1

2

)n-1，
∴a_n=（

1

2

）^n-2．
∴等比数列{a_n}的通项公式：a_n=（

1

2

）^n-2．
（2）由（1）知：an+1=(

1

2

)n-1．
对n∈N₊，在a_n和a_n+1之间插入n个数，分别记为：c₁，c₂，c₃，…c_n，
使得：a_n，c₁，c₂，c₃，…c_n，a_n+1成等差数列，
则b_n=

(c1+cn)n

2

=

(an+an+1)n

2

=

3n

2n

．
∵数列{b_n}的前n项和为T_n，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
∴T_n=3×（

1

2

）+6×（

1

2

）²+9×（

1

2

）³+…+

3n

2n

．…①

1

2

T_n=3×（

1

2

）²+6×（

1

2

）³+9×(

1

2

)4…+

3n

2n+1

．…②
由①-②得：

1

2

T_n=3×（

1

2

）+[3×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+3×(

1

2

)4…+

3

2n

]-

3n

2n+1

．…②
=

3 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

3n

2n+1

．
∴T_n=6-

3n+6

2n

，n∈N^*．
∴数列{b_n}的前n项和为：T_n=6-

3n+6

2n

，n∈N^*．

点评：本题考查了等差数列、等比数列、以及数列的错位相减法求和，本题难度较大，计算量适中，属于中档题．