Question

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，经过椭圆的左顶点A（-3，0）作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交轴于点E
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P为线段AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率和左顶点，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）直线l的方程为y=k（x+3），与椭圆联立，利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果．

解答 解：（1）由题意，a=3，$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴c=2$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1；
（2）设直线的方程为y=k（x+3），
代入椭圆方程，消元得（9k²+1）x²+54k²x+81k²-9=0，
∴x=-3或$\frac{3-27{k}^{2}}{9{k}^{2}+1}$…（6分）
∴D（$\frac{3-27{k}^{2}}{9{k}^{2}+1}$，$\frac{6k}{9{k}^{2}+1}$），
又∵点P为AD的中点，∴P（-$\frac{27{k}^{2}}{9{k}^{2}+1}$，$\frac{3k}{9{k}^{2}+1}$），
则k_OP=-$\frac{1}{9k}$（k≠0），…（9分）
直线l的方程为y=k（x+3），令x=0，得E（0，3k），
假设存在定点Q（m，n）（m≠0）使得OP⊥EQ，则k_OP•k_EQ=-1，
即-$\frac{1}{9k}$•$\frac{n-3k}{m}$=-1，
∴（9m-3）k+n=0恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{9m-3=0}\\{n=0}\end{array}\right.$，即m=$\frac{1}{3}$，n=0，
因此定点Q的坐标为（$\frac{1}{3}$，0）…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，是中档题．