Question

7．（1）已知sinx+cosx=$\frac{1}{2}$（0＜x＜π），求cosx，tanx
（2）已知cos（$\frac{5π}{12}$+α）=$\frac{1}{3}$，-π＜α＜-$\frac{π}{2}$，求cos（$\frac{π}{12}$-α）的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得cosx，tanx的值．
（2）先判定α+$\frac{5π}{12}$∈（-$\frac{7π}{12}$，-$\frac{π}{12}$），再根据cos（$\frac{π}{12}$-α）=sin（$\frac{5π}{12}$+α）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+\frac{5π}{12}）}$，计算求的结果．

解答 解：（1）由$sinx+cosx=\frac{1}{2}$，平方求得$sinx•cosx=-\frac{3}{8}$；∵0＜x＜π，∴x∈（ $\frac{π}{2}$，π），sinx＞0，cosx＜0，
∴${（{sinx-cosx}）^2}=1-2sinx•cosx=\frac{7}{4}$，∴$sinx-cosx=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，
联立求得$cosx=\frac{{1-\sqrt{7}}}{4}，sinx=\frac{{1+\sqrt{7}}}{4}，tanx=-\frac{{4+\sqrt{7}}}{3}$．
（2）∵已知cos（$\frac{5π}{12}$+α），-π＜α＜-$\frac{π}{2}$，∴α+$\frac{5π}{12}$∈（-$\frac{7π}{12}$，-$\frac{π}{12}$），
∴cos（$\frac{π}{12}$-α）=cos[$\frac{π}{2}$-（$\frac{5π}{12}$+α）]=sin（$\frac{5π}{12}$+α）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+\frac{5π}{12}）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．